“Anuitas di Muka, Ditunda, dan Bertumbuh”
Budi Frensidy
(Staf pengajar FEB UI dan Perencanaan Keuangan)
Koran Sindo, Minggu 14 Juni 2015
Valuasi tidak dapat dipisahkan dari perpetuitas dan kita mengenal berbagai perpuitas yaitu biasa, dimuka, ditunda, dan bertumbuh. Perpetuitas biasa dan bertumbuh. Perpetuitas biasa dan bertumbuh kerap digunakan untuk valuasi saham, properti, usaha dan uang pensiun yang dibayarkan bulanan. Persamaan matematika untuk perpetuitas biasa dan perpetuitas bersama dengan persamaan dasar menjadi tiga persamaan utama dalam matematika keuangan yang perludikuasi mahasiswa bisnis dan akuntansi.
Sejatinya hanya persamaan dasar yang perlu dihafal mahasiswa karena persamaan perpetuitas biasa dan perpetuitas bertumbuh dapat diturunkan dari persamaan dasar ini dengan manipulasi matematika sederhana. Namun, karena saya sulit menuliskannya di sini dan kebetulan kedua persamaan itu juga sangat mudah yaitu PV=A/I dan PV=A/(i-g), tidak ada salahnya juga jika mahasiswa langsung berusaha mengingatnya dan tidak perlu mengerti bagaimana persamaan-persamaan itu diturunkan. Bagaimana dengan macam-macam anuitas persamaannya?
Penurunanan Persamaan Anuitas
Sama dengan perpetuitas, anuitas pun yang biasa, di muka, ditunda, dan bertumbuh. Anuitas berbeda dengan perpetuitas hanya dalamhal periodenya yang terbatas yaitu selama n periode saja. Namun, berbeda dengan perpetuitas, untuk anuitas kita tidak hanya ingin mengetahui nilai sekarang atau present value (PV) tetapi juga nilai akan datang (future value – FV ). Oleh karena itu, persamaan anuitas terjadi lebih banyak dari pada persamaan perpetuitas yaitu PV dan FV untuk anuitas biasa, anuitas dimuka, dan anuitas bertumbuh ditambah PV untuk anuitas ditunda.
Saya akan mulai dari persaam untuk PB anuitas biasa. Anuitas basa tidak lain adalah selish perpetuitas ditunda yang dimulai pada periode n+1. Jika rangkaian arus kas sebesar A yang terus menerus mulai satu periode lagi hingga periode n. untuk mendapatkan persamaan anuitas biasa, kita cukup mengurangi persamaan PV dari perpetuitas biasa dengan persamaan PV dari perpetuitas ditunda.
Contoh soalnya adalah sebuah produk investasi A menawarkan arus kas sebesar Rp. 10 juta per tahun seumur hidip mulai tahun depan sementara produk investasi B menawarkan yang sama tetapi dimulai dati tahun ke-5. Jika imbal hasi; yang diharapkna diasumsikan tetap sebesar 6% pertahun, berapakah nilai sekarang dari produk A bernilai Rp.166,666.667 sementara produk B juga bernilai sebesar ini juga tetapi ditahun ke-4. Nilai sekarang produk B adalah Rp.166.666.667/(1+6%)^= Rp. 132.015.611. Misalkan kemudian ada produk C yang memberikan kas Rp. 10 juta yang dimulai dari tahun ke 1 sampai dengan tahun-4. Pada tingkat dikonto yang sama, nilai sekarang dari produk C ini adalah selisih kedua perpetuitas di atas yaitu Rp.34.651.056.
PV Anuitas di Muka
Variasi lain dari anuitas adalah anuitas di muka. Perbedaan anuitas di muka dari anuitas biasa adalah dalam hal angsuran terakhir dalam anuitas biasa diganti dengan angsuran pada hari ini atau saat transaksi dalam anuitas di muka. Karenanya, persamaannya hanya brbeda dalam jumlah periode dalam anuitas biasa dikurangi 1 dan kemudia hasilnya ditambah A yaitu angsuran pertama yang dibayarkan hari ini.
Ilustrasinya, Kayla bermaksud mengambil KPR dengan cicilan sebesar Rp.5 juta perbulan selama 10 tahun yag dimulai pada sat tanda tangan perjanjian. Jika suku bunga diasumsikan tetap 12% pertahun, berapakah plafon pinjaman yang dapat diperoleh Kayla? Dengan menggunakan persamaan PV unntuk anuitas biasa dengan periode(120-1) atau 119 , bunga 1%, dan A sebesar Rp. 5 juta dan hasilnya kemudian ditambah Rp.5 juta lagi, kita akan mendapatkan Rp.351. 987.636. Oleh karena itu, persamaan PV untuk anuitas persamaan PV untuk anuitas biasa dengan modifikasi jumlah periode dikurangi satu dan kemudian ditambah dengan A.
PV Anuitas Bertumbuh
Sama seperti persamaan untuk anuitas biasa, persamaan untuk anuitas bertumbuh adalah juga selisih dari dua persamaan perpetuitas yaitu perpetuitas bertumbuh biasa dan perpetuitas bertumbuh di tunda. Berapakah nilai sekarang dari arus kas Rp.20 juta pada tahun ke-1 yang meningkat 5% per tahun sampai dengan tahun ke 4, jika tingkat diskonto yang relevan adalah 7%?
Nilai sekarang dari investasi di atas adalah selisih dari arus kas terus-menerus mulai Rp. 20 juta tahun depan yang bertumbuh 5% per tahun (perpetuitas bertumbuh biasa) dengan arus kas arus kas terus menerus mulai dari Rp.20 juta (1+5%)^4 atau Rp. 24.310.125 mulai tahun ke 5 yang bertumbuh 5% pertahun (pertuitas bertumbuh di tunda). Nilai sekarang menjadi selisih dari Rp. 1 miliar (perpetuitas bertumbuh biasa) dan Rp. 927.303.898 (Rp 1.215.506.250 / (1,07) ^ 4 dari perpetuitas bertumbuh di tunfa yaitu Rp. 72.696.102.
Jika kita sudah memperoleh PV dari anuitas biasa, di muka, dan di tunda, dengan menggunakan persamaan dasar kita kandapat menurunkan persamaan FV untuk ketiga anuitas diatas.
PV Anuitas Ditunda
Dengan logika matematika kita juga dapat menurunkan persamaan matematika untuk PV anuitas ditunda. Misalkan ada produk D yang menjanjikan arus kas Rp. 10 juta selama 4 kali dan dimlai pada tahun ke-5 berapakah nilainya pada tingkat diskonto 6%?
Nilai produk D ini pada tahun ke-4 adalah Rp.34.651.056. Karena itu, nilai sekarangnya adalah Rp. 34.651.056/ (1+6%) ^4 = Rp. 27.446.882. Dengan kata lain, persamaan PV untuk anuitas ditunda adalah gabungan dua persamaan sekaligus yaitu persamaan PV anuitas biasa dan persamaan dasar. Kita mesti mendiskontokan lagi PV dari anuitas biasa yang didapat dengan menggunakan persamaan dasar.